Números Pefectos.

En las matemáticas, la búsqueda de la perfección ha llevado a sus aspirantes a distintos lugares. Hay cuadrados perfectos, pero en ese caso el termino no se usa en un sentido estético. Se usa más bien para advertirle que existen cuadrados imperfectos. En otra dirección, algunos números tienen pocos divisores y algunos tienen muchos.
Pero algunos números son <<sencillamente perfectos>>.
Cuando la suma de los divisores de un número es igual al propio número, se dice que es perfecto.

Una pequeña gran demostración de lo que es un número perfecto.

Números Imaginarios

Números Imaginarios

No hay duda de que podemos imaginar números. A veces imagino que en mi cuenta bancaria tengo un millón de colones y no cabe duda que eso sería un número imaginario. Pero el uso de lo imaginario no tiene nada que ver con estas fantasías. En el siglo XVI cuando se empezaron a utilizar libero a los matemáticos de las ataduras de los números normales y abrió enormes áreas de investigación inimaginables hasta entonces.

e

e

Comparado con su único rival π. e es la chica nueva del barrio. Es tanto que π es más augusto y tiene un solemne pasado que se remonta a los babilonios, e no esta tan lastrada por el peso de la historia. La contaste e es juvenil y vibrante y siempre está presente cuando se trata de “crecimiento”. Tanto si se trata de poblaciones, como de dinero u otras cantidades físicas, el crecimiento invariable implica a e

E es el número cuyo valor es aproximado a 2,71828. Salió a la luz a comienzos del siglo XVII.

El valor exacto de e

Al igual que π, e es un numero irracional, de modo que, tal y como sucede con π, no podemos conocer el valor exacto.

De modo que da la impresión, de que el numero e sigue algún patrón. En sus propiedados matemáticas, e parece más “simétrico” que π.

¿Es e importante?

A la constante e se la encuentra, sobre todo en el crecimiento, por ejemplo en el crecimiento económico y en el de la poblaciones. 

Cuadrados y raíces cuadradas

Cuadrados y raíces cuadradas

Si a usted le gusta hacer cuadrados con puntos, sus patrones de pensamiento son similares a los de los pitagóricos. Esta actividad era preciada por la hermandad que seguía a  su líder Pitágoras, un hombre al que se le recuerda, sobre todo por “aquel teorema”

Raíces cuadrada

El símbolo  para las raíces cuadradas se ha utilizado desde 1500. Todos los números cuadrados tienen como raíces cuadradas bonitos números enteros. 

¿Son fracciones las raíces cuadradas?

La pregunta de si las raíces cuadradas son fracciones está vinculada a la teoría de la medición tal como la conocían los antiguos griegos.

Números Primos

Las matemáticas son una materia tan inmensa que a veces pueden parecer abrumadoras. De vez en cuando tenemos que regresar a lo básico. Esto invariablemente supone un retorno a lo números de conteo 1, 2, 3, 4, 5, 6... ¿Podemos ser más básicos aún?

Bien, 4 = 2 x 2 y por tanto podemos descomponerlo en componentes primarios.¿Podemos descomponer algún otro número? En efecto, he aquí algunos amas: 6 = 2 x 3, 8= 2 x 2. son números compuestos, porque están construidos a partir de los números 2, 3,5, 7... son los números primos. Un número primo es un número que sólo es divisible por 1  por él mismo.

Los números primos son importante porque son los "átomos" de las matemáticas. El resultado matemático que consolida todo esto tiene el solemne nombre de "teorema de descomposición de los números primos". Este dice que todo número entero mayor de 1 puede escribirse multiplicando los números primos exactamente de una manera.

Descubrimiento de los primos. Desgraciadamente no hay fórmulas establecidas para identificar los primos, y sus apariciones entre los números enteros parecen no seguir ningún patrón. Uno de los primeros métodos para encontrarlos fue desarrollado por un coetáneo de Arquimedes: Erastóstenes de Cirene. Erastóstenes imaginó los números de conteo desplegados ante él. Subrayó el 2 y tachó todos los múltiplos de 2. Después pasó al 3, lo subrayó y tachó todos los múltiples de 3. Continuando de esa manera, cribó todos los compuestos. Los números subrayados que habían quedado tras la criba eran los primos.

Infinito

¿Cuán grande es el infinito? La respuesta breve es que ∞ (el símbolo del infinito) es muy grande, Piense en una línea recta con números cada vez mayores dispuestos a lo largo de ella, prolongándose “hasta el infinito”. Por cada número astronómico producido, por ejemplo 101000, siempre a uno más grande, como 101000 + 1.

Esta es una idea tradicional del infinito, en la que los números singuen sucediéndose interminablemente. Las matemáticas usan el infinito de muchas maneras, pero hay que tener cuidado de no tratar al infinito como un número normal. No lo es.

Imagínese a un granjero que no sabe contar los números. ¿Cómo sabría cuántas ovejas tiene? Muy sencillo: cuando suelta a sus ovejas por la mañana, puede saber si todas han vuelto por la tarde emparejando a cada oveja con una piedra de un montón que haya junto a cancela de su campo. Si falta una oveja, sobrará una piedra. Hasta sin usar números el granjero está siendo muy matemático.

La teoría de Cantor implica conjuntos. Por ejemplo IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…}  se refiere al conjunto de los números enteros. Una vez tenemos un con junto, podemos hablar de subconjuntos, que son conjuntos más pequeños del conjunto más grande.

Cardinalidad. Se denomina “cardinalidad” al número de elementos de un conjunto. La cardinalidd es una medida de “tamaño”.

¿Es infinito contable el conjunto de fracciones? El conjunto de fracciones Q es un conjunto más grande que IN en el sentido de que IN se puede considerar un subconjunto de Q.

La lista de los números reales.

Son los números irracionales: ellos “llenan los espacios” y con ellos nos dan la línea de los números IR.

Una vez llenados los espacios, al conjunto IR se le llama el “continuo”. Cantor demostró que hasta un intento de poner una lista los números reales comprendidos entre 0 y  1 está condenado al fracaso.

De hecho no hay ninguna lista posible para el conjunto de números reales IR, de modo que es un conjunto infinito “más grande”, uno que está en un “orden más elevado de lo infinito” que lo infinito del conjunto de fracciones Q.

           Cronología:

π

π es el número más famoso de las matemáticas. Olvídese de todas las demás constantes de la  naturaleza, π siempre será l primero de la lista. Si hubiera Oscars para los números, π ganaría un premio todos los años.

π, o pi, es la longitud del exterior de un círculo dividida por su longitud de parte a parte a través de su centro. El círculo es el hábitat natural de π, pero en matemáticas aparece en todas partes, en lugares que no están ni remotamente relacionados con el círculo.

Arquímedes Siracusa. En torno a 2000 a.C. los babilonios hicieron la observación de que la circunferencia tenía aproximadamente una longitud de 3 veces su diámetro. Fue Arquímedes de

Siracusa quien realmente inicio la teoría matemática de π, en torno a 225 a.C. Arquímedes esta en lo más alto, con los grandes de las matemáticas.

Arquímedes calculo que el valor de π estaba comprendido aproximadamente entre 223/71 y 220/70. De modo q es a Arquímedes a quien debemos la conocida aproximación 22/7 para el valor de π. Los honores por el diseño propio del símbolo de π hay que rendírselos al poco conocido William Jones, un matemático galés.

Aunque Lambert había demostrado que π no podía ser fracción, en 1882 el matemático Ferdinand von Lindemann resolvió el problema más extraordinario relacionado con π. Demostró que π es “transcendente”; es decir, que no puede ser la solución de una ecuación algebraica. Lindemann puso así fin al problema de la “cuadratura del círculo”. Dado un círculo, el reto era construir un cuadrado de su misma aéreas usando solo un compas y una regla. Lindemann demostró concluyentemente que no se puede hacer.

El cálculo real de π continúo rápidamente. En 1853, William Shanks afirmo haber obtenido un valor correcto hasta 607 decimales. En 19409, se calculo π hasta 2.037 decimales, tarea en la que se tardaron70 horas con un ordenador ENIAC. En 2002, π se había calculado hasta la pasmosa cantidad de 1.241.100.000.000 decimales, pero esta cola no deja de crecer. Si nos plantáramos en el ecuador y empezásemos a apuntar la expansión de π, el cálculo de Shanks nos haría recorrer nada menos que 14 metros, ¡pero la longitud de la expansión de 2002 nos hará dar unas 62 vueltas alrededor del mundo! 

Fracciones

Una fracción es un “número fracturado”, literalmente. Si descomponemos un número entero, una forma apropiada de hacerlo es usar fracciones. Tomemos el ejemplo tradicional, el famoso pastel, y dividámoslo en tres partes.

La persona que toma dos de las tres partes del pastel obtiene una fracción equivalente a 2/3. La persona que no ha tenido su suerte solo obtiene 1/3. Uniendo las dos porciones del pastel volvemos a obtener todo el pastel, o, en fracciones, 1/3+ 2/3 = 1, donde 1 representa todo el pastel.

Una fracción siempre tiene la forma de un número entero “encima de” un número entero. Al número de la parte inferior se le llama “denominador” porque nos dice cuantas partes componen el todo. Al número de la parte superior se le llama “numerador” porque nos dice cuantas fracciones de unidad hay.

También podemos tener fracciones como 14/5 (llamadas fracciones impropias), donde el numerador es más grande que el denominador. Al dividir 14 por 5 obtenemos 2 y nos sobran 4, lo que puede escribirse como el numero “mixto” 2  4/5

Los matemáticos se refieren a las fracciones como “números racionales” porque son razones de dos números. Los números racionales eran los números que los griegos podían “medir”.

Fracciones egipcias. Los egipcios utilizaban fracciones privilegiadas como 2/3, pero todas las demás fracciones se expresaban e términos de fracciones de unidad como 1/2,  1/3,  1/11  o  1/168. Estas eran sus “fracciones básicas”, a partir de las cuales podían expresarse todas las demás fracciones.

Cronología:

Sistemas Numéricos

Sistemas Numericos

“Un sistema numérico es un método para tratar el concepto de  “cuantos”. Diferentes culturas han adoptado diversos métodos, que abarcan desde el básico, “uno,dos, tres,muchos”, hasta las extremadamente sofisticada notación decimal posicional que usamos hoy en dia”

Cronologia

Algunos ejemplos de sistemas númericos creados a lo largo de la historia son:

El Sistema Romano:

Los básicos eran las decenas (I,X,C y M) y sus mitades (V, L y D).

No resulta fácil manejar los números romanos.

Por ejemplo MMMCDXLIIII se vuelve obvio cuando se introducen  parentices (MMM)(CD)(XL)(IIII) se lee 3000+400+40+4 = 3444.

Suma:

3444  -> MMMCDXIIII
 +394   ->        CCCXCIIII
=3838 -> =MMMDCCCXXXVIIII

Multiplicacion:

3444            -> MMMCDXIIII
 x394          ->         CCCXCIIII
=1356.936 ->   =MCCCCLVMCCCCLVMCMXXXVI

Numeros Enteros Decimales:

Utiliza en diez y utiliza 0,1,2,3,4,5,6,7,,8,9. En realidad esta basado en decenas y unidades.

Ejemplo:

394 = 3 x 100 + 9 x 10 + 4 x 1

Tambien se puede expresar en podencias

394 = 3 x 10² + 9 x 10¹ + 4 x 10⁰

Ceros y Unos:

La base binaria usa la base 2 y cualquier numero puede expresarse en esta base.

Ejemplo:

394 = 1 x 2⁸ +1 x 2⁷ + 1 x 2⁶ + 1 x 2⁵ + 1 x 2⁴ + 1 x 2³ + 1 x 2² + 1 x 2¹ + 1 x 2⁰