Infinito

¿Cuán grande es el infinito? La respuesta breve es que ∞ (el símbolo del infinito) es muy grande, Piense en una línea recta con números cada vez mayores dispuestos a lo largo de ella, prolongándose “hasta el infinito”. Por cada número astronómico producido, por ejemplo 101000, siempre a uno más grande, como 101000 + 1.

Esta es una idea tradicional del infinito, en la que los números singuen sucediéndose interminablemente. Las matemáticas usan el infinito de muchas maneras, pero hay que tener cuidado de no tratar al infinito como un número normal. No lo es.

Imagínese a un granjero que no sabe contar los números. ¿Cómo sabría cuántas ovejas tiene? Muy sencillo: cuando suelta a sus ovejas por la mañana, puede saber si todas han vuelto por la tarde emparejando a cada oveja con una piedra de un montón que haya junto a cancela de su campo. Si falta una oveja, sobrará una piedra. Hasta sin usar números el granjero está siendo muy matemático.

La teoría de Cantor implica conjuntos. Por ejemplo IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…}  se refiere al conjunto de los números enteros. Una vez tenemos un con junto, podemos hablar de subconjuntos, que son conjuntos más pequeños del conjunto más grande.

Cardinalidad. Se denomina “cardinalidad” al número de elementos de un conjunto. La cardinalidd es una medida de “tamaño”.

¿Es infinito contable el conjunto de fracciones? El conjunto de fracciones Q es un conjunto más grande que IN en el sentido de que IN se puede considerar un subconjunto de Q.

La lista de los números reales.

Son los números irracionales: ellos “llenan los espacios” y con ellos nos dan la línea de los números IR.

Una vez llenados los espacios, al conjunto IR se le llama el “continuo”. Cantor demostró que hasta un intento de poner una lista los números reales comprendidos entre 0 y  1 está condenado al fracaso.

De hecho no hay ninguna lista posible para el conjunto de números reales IR, de modo que es un conjunto infinito “más grande”, uno que está en un “orden más elevado de lo infinito” que lo infinito del conjunto de fracciones Q.

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